yonsweng   4년 전

다른 질문에서 정답이 (m^2 - 1) / 3m + m/2라고 하는데 왜 그런지 모르겠습니다.

풀이 과정과 증명을 올려주실 분 계신가요?

sait2000   4년 전

일단 잘 고민해보면 뫼비우스의 띠라고 생각할 필요가 없이 그냥 m * 2n짜리 직사각형이 양 끝이(길이가 m인 변이) 맞닿아있는 도형과 똑같음을 알 수 있습니다.

그러면 2nm*2nm개의 작은 정사각형 순서쌍에 대해 거리를 모두 더한 다음에 2nm*2nm으로 나누면 답입니다. (지금 생각해보니까 2nm*(2nm+1)이 맞지 않을까 싶기도 하고요... 문제 이상한 것 같은데)

그러면 수평 거리(2n짜리 변에 평행한 방향)의 합하고 수직 거리의 합을 따로 계산해도 됩니다.

수평 거리의 합은 일단 한 점을 고정하고 나머지 점들을 바꿔가면서 생각하면 한 점에서 왼쪽으로 가면서 거리는 아래 표 1처럼 됩니다. (맨 왼쪽 열 어딘가에 고정한 한 점이 있습니다) 그러니까 다 더하면 n^2 m이겠고 칸이 2nm개니까 총 2 n^3 m^2입니다.

수직 거리의 합은 시작하는 칸이 있는 열, 끝나는 칸이 있는 열을 고정하고 m^2개의 쌍을 생각해보면 표 2처럼 됩니다. 표 2가 0이 있는 대각선을 기준으로 대칭이니까 아래 부분만 생각해보면 각 열의 합이 삼각수임을 알 수 있습니다. (표 3) 따라서 아래 부분을 더하면 (Fig 4) (m-1)m(m+1)/6이 나오고 윗 부분이랑 합치면 (m-1)m(m+1)/3이고 열을 고정하는 방법이 (2n)^2개 있습니다.

따라서 싹 다 더하고 나누면 (2 n^3 m^2 + (2n)^2(m-1)m(m+1)/3) / ((2nm) ^ 2)가 나와서 약분하면 적어주신 식 (오타 있네요 m/2가 아니고 n/2가 나오죠)이 나옵니다.

yonsweng   4년 전

이해되었어요. 감사합니다!

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