15739번 - 매직스퀘어

수학에서 행렬(行列, matrix)은 수나 기호, 수식 등을 네모꼴로 배열한 것으로, 가로줄을 행(row), 세로줄을 열(column)이라고 한다. 특히 행과 열의 개수가 같은 행렬을 정방행렬(square matrix)이라고 한다.

매직스퀘어(magic square,마방진,魔方陣)는 다음 2 가지 성질을 만족하는 정방행렬이다.

1. 행렬의 원소는 1부터 `n*n`(n의 제곱) 범위의 정수로 구성하며, 중복되는 수가 없이 모두 달라야 한다.
2. 행의 합, 열의 합, 2개의 대각선의 수열의 합은 모두 같으며, 합은 다음 식으로 구한다. 

n × (n² + 1) / 2

즉, n=2 이면 합은 5 이고, n=3이면 합은 15 이고, n=4이면, 합은 34 이다.

예를 들어, 다음은 매직스퀘어의 예이다. (n=2 인 매직스퀘어는 없다.)

2 7 6
9 5 1
4 3 8

4 14 15 1
9 7 6 12
5 11 10 8
16 2 3 13

11 24 7 20 3
4 12 25 8 16
17 5 13 21 9
10 18 1 14 22
23 6 19 2 15

정수 리스트의 리스트(또는 정수 배열의 배열)로 표현한 임의의 정방행렬을 받아서, 매직스퀘어인지 확인하는 프로그램을 작성하시오.

첫째 줄에 N(3 ≤  N ≤ 100)가 주어지고 둘째 줄부터 N개의 줄에 걸쳐 N개의 숫자가 주어진다. N개의 수의 범위는 1이상 n²이하 이다.

입력된 N개의 숫자가 나타내는 정방행렬이 매직스퀘어라면 TRUE, 아니라면 FALSE를 출력한다.