22347번 - 공통 괄호 문자열 사전 서브태스크

(와 )만으로 이루어진 두 문자열 A, B와 자연수 K가 주어진다.

A의 부분 문자열이면서 B의 부분 문자열이고, 올바른 괄호열인 서로 다른 문자열들의 집합을 S(A, B)라고 하자.

S(A, B)의 크기가 K 이상인지 판별하고, 만약 크기가 K 이상이라면 S(A, B)를 사전 순으로 정렬했을 때 K번째 문자열을 구하는 프로그램을 작성하라.

하나의 입력 데이터에서 T개의 테스트 케이스를 해결해야 한다.

첫째 줄에 테스트 케이스의 개수 T가 주어진다.

다음 T개의 각 줄에는, 하나의 테스트 케이스를 구성하는 두 문자열 A와 B와 자연수 K가 공백 하나씩을 사이로 두고 주어진다.

각각의 테스트 케이스마다, 주어진 순서대로, 한 개의 줄에,

• S(A, B)의 크기가 K 미만이라면, -1을 출력한다.
• S(A, B)의 크기가 K 이상이라면, S(A, B)에서 사전 순 K번째 문자열을 출력한다.

∑|A|는 하나의 입력에서 주어지는 모든 A들의 길이 합, ∑|B|는 하나의 입력에서 주어지는 모든 B들의 길이 합으로 정의한다.

• 1 ≤ T ≤ 500 000
• A와 B는 각각 여는 괄호와 닫는 괄호로만 이루어진 길이가 1 이상인 문자열이다.
• 1 ≤ K ≤ 10¹⁸
• ∑|A| ≤ 500 000
• ∑|B| ≤ 500 000

올바른 괄호열의 정의

올바른 괄호열이란 다음과 같이 정의된다.

• 한 쌍의 괄호로만 이루어진 문자열 ()는 올바른 괄호열이다.
• X가 올바른 괄호열이면, X를 괄호로 감싼 (X)도 올바른 괄호열이다.
• X와 Y 가 올바른 괄호열이면, X와 Y 를 이어 붙인 XY도 올바른 괄호열이다.
• 모든 올바른 괄호열은 위 세 가지 규칙을 통해서만 만들어진다.

예를 들어 (()(()))나 (())()()는 올바른 괄호열이지만, (()나 )((()()은 모두 올바른 괄호열이 아니다.

부분문자열의 정의

길이가 l인 문자열 s와 1 ≤ i ≤ j ≤ l인 두 정수 i와 j에 대해, s[i..j]는 s의 i번째 문자에서부터 j번째 문자까지를 모두 순서대로 포함하는 문자열이며, 이러한 문자열들을 문자열 s의 부분문자열이라고 한다.

예를 들어 s가 ()(()()이라면, s[1..5]는 (()이고, s[1..7]은 ()()이다. 따라서 (()과 ()()은 문자열 ()(()()의 부분문자열이다. 하지만 )()(은 문자열 ()(()()의 부분문자열이 아니다.

사전 순의 정의

길이가 l₁인 문자열 s₁[1..l₁]이 길이가 l₂인 문자열 s₂[1..l₂]보다 사전 순으로 앞선다는 것은, 아래 두 조건 중 하나가 성립한다는 것과 동치이다.

• s₁이 s₂의 접두사이다. 즉, l₁ < l₂이고, 모든 1 ≤ i ≤ l₁에 대해 s₁[i] = s₂[i]이다.
• s₁[i] ≠ s₂[i]가 성립하는 가장 작은 i (1 ≤ i ≤ min(l₁, l₂))에 대해 s₁[i] < s₂[i]이다.

이 문제에서 여는 괄호 (는 닫는 괄호 )보다 사전에서 앞선 문자이다. 즉 ‘(’ < ‘)’이다.

이 방식은 C++, Java, Python에서 두 문자열을 비교하는 방식과 동일하다.