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문제

오늘도 서준이는 동적 프로그래밍 수업 조교를 하고 있다. 아빠가 수업한 내용을 학생들이 잘 이해했는지 문제를 통해서 확인해보자.

양의 정수로 이루어진 n × n 행렬 m이 주어진다. 행렬의 왼쪽 위에서 시작해 한 칸씩 이동해 오른쪽 아래까지 도달한다. 이 과정에서 방문한 칸에 있는 수들을 더한 값이 이 경로의 합이다. 이동 규칙은 다음과 같다.

  • 오른쪽이나 아래쪽으로만 이동할 수 있다.
  • 왼쪽, 위쪽, 대각선 이동은 허용하지 않는다.

행렬의 원소 (1, 1)에서 (n, n)으로 이동하는 모든 경로의 점수 중 가장 높은 점수를 구하는 행렬 경로 문제 의사코드는 아래와 같다. 재귀호출에 비해 동적 프로그래밍이 얼마나 빠른지 확인해 보자. 행렬의 크기 n 행렬 m이 주어진 경우 코드1 코드2 실행 횟수를 출력하자.

행렬 경로 문제 재귀호출 의사 코드는 다음과 같다.

matrix_path(m[][], n) {  # (1, 1)에서 (n, n)에 이르는 최고 점수를 구한다.
    return matrix_path_rec(m, n, n);
}
matrix_path_rec(m[][], i, j) {  # (1, 1)에서 (i, j)에 이르는 최고 점수를 구한다.
    if (i == 0 or j == 0) then
        return 0; # 코드1
    else
        return (mij + (max(matrix_path(m, i-1, j), matrix_path(m, i, j-1))));
}

행렬 경로 문제 동적 프로그래밍 의사 코드는 다음과 같다.

matrix_path(m[][], n) {  # (1, 1)에서 (n, n)에 이르는 최고 점수를 구한다.
    for i <- 0 to n
        d[i, 0] <- 0;
    for j <- 1 to n
        d[0, j] <- 0;
    for i <- 1 to n
        for j <- 1 to n
            d[i, j] <- mij + max(d[i - 1, j], d[i, j - 1]);  # 코드2
    return d[n, n];
}

입력

첫째 줄에 행렬의 크기 n(5 ≤ n ≤ 1,000)이 주어진다.

그 다음 n개의 줄에는 각 줄마다 행렬의 각 행을 나타내는 n개의 정수가 한 개의 빈 칸을 사이에 두고 주어진다. 각 칸에 들어가는 값은 1 이상 100,000 이하이다.

출력

코드1 코드2 실행 횟수를 1,000,000,007로 나눈 나머지를 한 줄에 출력한다.

예제 입력 1

5
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
3 3 3 3 3
4 4 4 4 4
5 5 5 5 5

예제 출력 1

252 25

예제 입력 2

20
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5

예제 출력 2

846527861 400

출처