22222번 - 지애 상수

저명한 한국의 수학자 무민 유지애 선생은 시에르핀스키 삼각형에 대한 업적으로 잘 알려져 있다. 시에르핀스키 삼각형은 다음과 같이 정삼각형을 계속 반씩 나눠가며 얻을 수 있는 도형이다. (설명 및 그림은 Wikipedia를 약간 수정) 

1. 변의 길이가 1인 정삼각형 하나에서 시작한다.
2. 각 정삼각형의 세 변의 중점을 이으면 원래의 정삼각형 안에 작은 정삼각형이 만들어진다. 이 작은 정삼각형을 제거해 각 정삼각형 당 3개의 더 작은 정삼각형을 만든다.

2번 과정을 무한히 반복하면 모양이 위 그림처럼 시에르핀스키 삼각형으로 수렴한다.

시에르핀스키 삼각형에서 점 두 개를 독립적으로 균등하게 (independent, uniformly distributed) 잡자. 무민 유지애 선생은 두 점 사이의 삼각형 내부 거리, 즉 두 점을 양 끝점으로 가지고 시에르핀스키 삼각형 안의 모든 구멍을 피하는 삼각형 내부 최단 경로의 길이의 기댓값이 466/885임을 발견해내었다. 그러나 이 결과는 서양의 수학자에 의해 먼저 알려져 있었기 때문에 애석하게도 학계에 발표되지는 못했다.

이에 무민 유지애 선생은 지애 상수라는 값을 고안했다. 지애 상수는 시에르핀스키 삼각형에서 독립적으로 균등하게 잡은 점 두 개의 평면에서의 거리의 기댓값이다. 정확하게는 다음과 같다.

좌표평면의 점 $A(0,0), B(1,0), C(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$로 정의된 정삼각형 $ABC$에서 시작하여 만든 시에르핀스키 삼각형에서 임의의 두 점 $P(x_1, y_1), Q(x_2, y_2)$를 선택한다. 이 때 지애 상수는 $P$와 $Q$를 연결한 선분의 길이 $PQ=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$의 기댓값이다.

무민 유지애 선생은 지애 상수를 아주 정밀한 자릿수까지 빠르게 계산하는 놀라운 방법을 찾았지만, 다양한 활동 때문에 바빠 아직 이를 구현하지 못했다. 그녀를 도와 지애 상수를 소수점 아래 222자리까지 계산해보자.

입력은 없다.

지애 상수를 반올림하여 소수점 아래 222자리까지 출력하라. 형식은 "0.xxxxxx"의 형태로, 소수점 뒤에 올 자릿수(xxxxxx)의 개수가 정확히 222개가 되어야 한다.

이 문제는 지애 상수를 소수점 아래 222자리까지 출력한다는 조건 외에 어떤 제한이 없다. 즉, 답을 미리 계산해서 출력하거나, text로 제출하는 것이 가능하다.

시에르핀스키 삼각형에서 한 점을 균등하게 고르는 방법은 다음과 같이 엄밀하게 정의할 수 있다. 먼저 시에르핀스키 삼각형을 만드는 최초의 변의 길이가 1인 정삼각형 $T$에서 시작한다. 본문에서 설명한 2번째 단계를 거치면 $T$에서 3개의 작은 정삼각형들이 나온다. 그중 하나를 균등한 확률(1/3)로 골라 새로운 $T$로 정의하자. 이 과정을 반복하면 삼각형 $T$는 크기가 반씩 줄어들면서 어느 점 하나로 수렴한다. 이 점을 시에르핀스키 삼각형에서 균등하게 고른 한 점으로 한다.